粉砕機のスケールアップ基礎式

乳化とは直接関係ありませんが，粉体の微細化に関する知見・経験則を紹介します。

ここでは，練合機と呼ばれる装置で使用するプラネタリーミキサーのスケールアップについて考えます。

このときハンマーミルをモデルケースとして取り扱います。

専門外につき詳細は省略しますが，粉体速度論に基づいてスケールアップ理論を展開すると，基礎式と呼ばれる考え方が提案されています。

📝[memo]　ここでは，この式が成り立つものとして話を進めていきます。

ハンマーミルのスケールアップを考えるとき，この式を利用することでどのような知見が得られるか確認してみましょう。

幾何学的相似

スケールアップ時において，面積A比と供給速度F比は変化しないとします。

A₂ ∝ A₁　（面積比），F₂ ∝ F₁　（供給速度比）

ところで，F = Av（粉体の速度v）と表すことができます。

A₁/A₂ = F₁/F₂

同様にして，ケーシング幅B比も変化しないとします。

B₂ ∝ B₁

面積Aを考えるにあたって，次の条件も併せて考えます。

• 入口横長さ ＝ ケーシング幅
• 入口縦長さ ∝ ケーシング半径

すると，面積Aが長方形であることから，次のように式変形をすることができます。

A₁/A₂ = (R₁/R₂)(B₁/B₂) = F₁/F₂

R₁/R₂ = B₁/B₂のとき，(R₁/R₂)² = F₁/F₂ ⇔ R₁/R₂ = (F₁/F₂)^1/2

さらにハンマー重量w比も同様で，次の条件を満たすとします。

w₂ ∝ w₁

• ケーシングの厚み一定
• 単位面積あたりのハンマー重量一定

ところで，ハンマーの重量は体積のみに依存し，その体積は円柱として表すことができます。

w₁/w₂ = (R₁² + R₁B₁)/(R₂² + R₂B₂) = {R₁²(1 + 1/R₂)}/{R₂²(1 + 1/R₁)}

このとき，ハンマー径が十分大きく，1/R = 0とみなせると仮定します。

w₁/w₂ = (R₁/R₂)² = F₁/F₂

📝[memo]　ミル内の表面積は4πR²と2πR・Bの和になるため，R²とRBの項が残ります。

ロータの半径，回転数

粉砕物の粒子径x_cが一定になる条件を考えます。

このとき，x_c = F/KWが成り立つことから，粉砕速度定数KはW^–1Fに比例します。

K₁/K₂ = (W₂/W₁)(F₁/F₂)

また，ミル内の粉体濃度一定も一定です。

すなわち，ミル内の体積比を一定にします。

ミル内の体積は，円柱として表すことができます。

W₁/W₂ = (R₁²B₁/R₂²B₂) = (R₁/R₂)³ = (F₁/F₂)^3/2

K₁/K₂ = (F₁/F₂)^–1/2

📝[memo]　ミル内の体積は4πR²・Bであるため，R²Bの項が残ります。

📝[memo]　上述したR₁/R₂ = B₁/B₂のときを想定して，式変形をしています。

粒子の運動に対する空気抵抗を無視したとき，粉砕効果を全く同じにするためには衝突版に対する粒子の衝突速度を一定にすべきです。

すなわち，ロータの周先端速度を一定にしなければなりません。

N₁/N₂ = (r₁/r₂)^–1

📝[memo]　周先端速度は，回転数Nと羽根径D（ここではR）に比例することを紹介してきました。

このとき，粉砕速度定数Kは，ロータの回転数N，粒子がハンマーおよびブレーカープレートに衝突する確率P, Qに比例すると仮定します。

K₁/K₂ = (N₁/N₂)(P₁/P₂)(Q₁/Q₂)

また，ハンマーおよびブレーカープレートの数p, qにも比例すると仮定します。

P₁/P₂ = (p₁・l₁/r₁)(p₂・l₂/r₂)

Q₁/Q₂ = (q₁・L₁/R₁)(q₂・L₂/R₂)

📝[memo]　それぞれの数は，ケーシング半径Rやロータ半径rに依存します。

さらに，次の条件も満たすとします。

• ハンマーの大きさと数を一定 ➡ p₁l₁ = p₂l₂
• ブレーカープレートを幾何学的相似 ➡ q₁L₁/R₁ = q₂L₂/R₂

K₁/K₂ = (N₁/N₂)(r₂/r₁) = (N₁/N₂)² = (F₁/F₂)^–1/2

⇔ N₁/N₂ = (F₁/F₂)–1/4

⇔ r₁/r₂ = (F₁/F₂)^1/4

以上より，ハンマーミルの回転数と供給速度，ロータ径と供給速度の関係が得られました。

実際の工業装置においても，このような関係性がおおむね成立することが確認されています。

粉砕仕事法則

粉砕では新しい表面が生成され，表面積の増大に伴い，界面自由エネルギーが増大していきます。

これは，乳化現象のときに述べた通りです。

特に粉砕を考えたとき，主に3つの理論・法則が提案されています。

Kickの法則　W = k_Klog(d₁/d₂)

完全に均一で等方性の材料の物体に対して，弾性限界まで少しずつ均一な荷重をかけていくと，圧縮の仕事は弾性的に蓄えられたエネルギーに等しくなり物体の体積に比例します。

“粗粉砕”では体積変化に比べて表面積増加が小さくなるため，Kickの考えが支配的となります。

Rittingerの法則　W = k_R’(1/d₂ – 1/d₁) = k_R(S₂ – S₁)

物体が均一あるいは等方性でなく応力集中面を持っていて，ここに全てのひずみエネルギーが集中すれば生成表面積に比例します。

“微粉砕”では表面積増加が支配的になることから，Rittingerの考えが支配的となります。

Bondの法則　W = k_B(1/√d₂ – 1/√d₁)

Kickの考えRittingerの考えの折衷案に過ぎないが，事実上尊重されています。

このとき，d₁ = ∞，d₂ = 100のときに得られるWork Indexの考え方が知られています。

無限大の大きさから100 [μm]まで砕くのに必要なエネルギーであり，種々の砕料に対して多くの粉砕機の実測値に基づき，それらを平均値として計算されたものです。

また，Work Indexと粉砕物性の関係がまとめられています。

Work Indexは粉体の強度，密度という物性と関連することがわかります。

[引用：田中達夫：J Chem. Eng. Japan, 8 (1975), p.82]

混合のメカニズム

粉体の粒子自身は自発的な運動性を持たないため，外部から粒子に力を加える必要があります。

この外力の付与の仕方は混合形式（混合装置）によって異なりますが，混合進行過程は大別して3つの機構から説明されることが多いです。

混合形式により程度の差はありますが，同時に並発し，その相乗効果として混合が進行することが知られています。

混合機構

粉体は部分的混合を起こしながら，層流的な移動をしています。

この移動現象が上述した3つの機構であり，対流混合（移動混合）・せん断混合・拡散混合になります。

一般的な混合装置では，対流混合（移動混合）と拡散混合が主であると言われています。

対流混合（移動混合）

混合容器自体や撹拌羽根の回転により粉体粒子群が大きく移動し，混合装置内で循環流が形成されます。

この運動により，限られた空間内で同種粒子からなる粉体群の小さくなっていきます。

せん断混合

撹拌羽根付近や容器回転式において，粒子間および容器壁面との速度差が大きい箇所で見られる粒子群に対して，せん断力を与える機構です。

📝[memo]　せん断力については，「撹拌をやさしく捉えてみよう【撹拌をどのように利用するべきか？】」のページで紹介しました。

拡散混合

混合容器内で発生する運動の中で，粒子同士の衝突や間げきへの落ち込みによって位置交換が発現します。

これは，比較的近距離に広がりながら進行する機構です。

混合の進行状態

混合とは，物性の異なる数種の粉体を均一化する操作であると考えます。

混合装置における混合速度は，この均一性からのずれと混合時間の関係から考察することができます。

混合初期では，粉体群が全体として移動する対流混合（移動混合）が見られます。

次の混合中期では，せん断混合も加わることで完全混合の偏差値に近づいていきます。

例えば，水分を含んだ粉体や凝集性を示す粉体では，粒子間の結合を破壊するせん断力が必要になります。

完全混合の偏差値に近づくと，粒子相互間のすべり運動によって粒子が接近する拡散混合が主体となります。

📝[memo]　すべり運動は，通常，回転運動に対する「並進」や「滑り（スリップ）」を指します。

[引用：坂下攝『粉体プラントのスケール・アップ手法』工業調査会，1981]

外力変化

ここまでは混合時間の変化を考えましたが，次は外力変化について着目します。

外力の大きさによって混合状態は変化します。

粉体は相互に影響を及ぼしあう多数の固体粒子の集合体であり，与えられる外力の大きさや与え方によって様々な混合状態となるためです。

一般に外力が弱い場合，集合体はその形状を維持したまま他の粒子と混ざり合います。

外力が強くなるに伴い，集合体が解砕・分散され，一次粒子に近い状態となって他粒子と結合したり表面に埋め込まれたりします。

第Ⅰ段階（外力：弱）

造粒物の粉化抑制や凝集物をソフトに混合する際に有効です。

混合は緩やかに進行し，混合時間は比較的ラフに設定できます。

第Ⅱ段階（外力：中）

造粒物の粉化が発生しやすく，凝集体を解砕し分散することができます。

しかしながら，一次粒子レベルの分散や粒子の変形には至りません。

第Ⅲ段階（外力：強）

凝集体を一次粒子レベルまで解砕し分散することができ，粒子が変形することもあります。

また，大径粒子表面に小径粒子が被膜されるように分散され，大径粒子に小径粒子が埋め込まれて固定化する現象も発生します。

混合や分散は急速に進行するため，緻密な混合時間制御が求められます。

[引用：製剤機械技術学会誌，vol33, No.1 (2024)]

混合速度とスケールアップ

混合・混錬装置は種類が多く，橋本によれば72種類に分類できるようです。

ここではホイール型は省略して，ブレード型・ロール型・その他について記載しています。

また，混錬力，混錬速度，スケールアップの可否等も併せて紹介しています。

📝[memo]　混錬力と混錬速度の評価は，5段階評価（優れているほうを5）で表していると推察します。

[引用：橋本建次『粉体機器の選定とスケールアップの問題点，PSEセミナー（第9回）』粉体と工業社，1990.7.2]

混合・混錬装置の最適回転数

経験則になりますが，スケールアップ時において最適回転数と撹拌機回転半径の積N_opRを等しくする（＝反比例の関係）と良いことがわかっています。

様々な撹拌機に対して，このような関係性が実験で確認されました。

これは，上述した周先端速度（せん断力）一定が成り立つことを意味します。

そこで，この考え方が正しいとして最適回転数を算出することにします。

📝[memo]　反比例のグラフを対数グラフ（片対数グラフや両対数グラフ）に描画すると直線に近い形に見えることがあり，データ間の関係性を分析するのに役立ちます。

[引用：坂下攝『粉体プラントのスケール・アップ手法』工業調査会，1981]

混合速度係数と混合時間

混合の進行状態を考えたとき，標準偏差（均一性からのずれ）の式の中に混合速度係数というものがありました。

ここでは，この混合速度係数を考えます。

このとき，混合速度係数に係る無次元式が提案されており，容器固定型であるリボンミキサーの係数も知られています。

そこで，リボンミキサーの事例が練合機に適用できると仮定して，混合時間を算出してみたいと思います。

[引用：矢野武夫，蟹瀬巌，田中邦男，倉橋成元，化学工学，22, 758, 1958]

リボンミキサーの混合速度係数

上述した混合速度係数に係る無次元式に対して，リボンミキサーの係数を代入します。

k₁/N = K(R_maxN²/g)^a(F/V)^b(V^1/3/d_p)^c(ΔC_R)^e(d_A/d_B)^f = 7.3×10^–3(R_maxN²/g)^0.2(F/V)^b(V^1/3/d_p)^0.5(ΔC_R)⁰(d_A/d_B)^f

ここで，次のようにスケールアップ条件を設定します。

• 粉体の充填率F/V一定
• 粉体の平均粒子径d_p一定
• 使用する粉体の粒子径d_A, d_B一定
• 撹拌機最大回転半径R_maxを撹拌槽径と仮定

k₁/N ∝ (R_maxN²)^0.2(V^1/3)^0.5 = R_max^0.2N^0.4V^1/6 ⇔ k₁ ∝ R_max^0.2N^1.4V^1/6

混合時間の算出

さらに，次のようにスケールアップ条件を設定します。

• 標準偏差（均一性からのずれ）σ一定
• 初期偏差値σ₀一定

σ = σ₀exp(–k₁t) = σ₀exp(–k₁₁t₁) = σ₀exp(–k12t2)

⇔ σ₀exp(–k₁₁t₁) = σ₀exp(–k₁₂t₂)

⇔ k₁₁t₁ = k₁₂t₂

プラネタリーミキサーのスケールアップ

それでは，プラネタリーミキサーのスケールアップ計算をしてみたいと思います。

これは，リボンミキサーの考え方が練合機（プラネタリーミキサー）に適用できるとみなすものです。

スケールアップをするにあたって，下図における5 L試験機の条件が最適であったと仮定します。

そして，この条件を基に30 L中間機へスケールアップすることを考えます。

プラネタリーミキサーによるスケールアップ計算で必要となる因子について確認しておきましょう。

5 L試験機

• 混合機容積 [m³]　👉　5 L試験機で使用する撹拌槽は決まっているので，自然に確定する値となります。
• 羽根径 [m]　👉　5 L試験機で使用するプラネタリーミキサー（撹拌槽）は決まっているので，自然に確定する値となります。
• 回転数 [r/min]　👉　5 L試験機にて決定した最適条件によって決まるので，実験によって確定する値となります。
• 製品仕込量 [m³]　👉　製品仕込量は任意なので，自分で確定する値となります。
• 混合時間 [min]　👉　4 m3撹拌槽にて決定した最適条件によって決まるので，実験によって確定する値となります。

30 L中間機

• 混合機容積 [m³]　👉　30 L中間機で使用する撹拌槽は決まっているので，自然に確定する値となります。
• 羽根径 [m]　👉　30 L中間機で使用するプラネタリーミキサー（撹拌槽）は決まっているので，自然に確定する値となります。
• 回転数 [r/min]　👉　プラネタリーミキサーによるスケールアップ計算で算出する値となります。（未知数）
• 製品仕込量 [m³]　👉　混合機容積に対する製品仕込量は一定なので，幾何学的相似を満たすようにして算出する値となります。（未知数）
• 混合時間 [min]　👉　プラネタリーミキサーによるスケールアップ計算で算出する値となります。（未知数）

30 L中間機における回転数・製品仕込量・混合時間は，算出する値（未知数）です。

そこで，これら羽根径・回転数・混合時間を算出することにします。

📝[memo]　製品仕込量は60%仕込みとして簡単に計算できるため，表にはその結果を現段階で記載しています。

プラネタリーミキサーの計算例⑴（3 L → 18 L仕込み・最適回転数）

以降，○₅（添え字＝5）は5 L試験機，○₃₀（添え字＝30）は30 L中間機のときの値を示します。

最適回転数N_op5，撹拌槽径R₅は既知であるので，最適回転数と撹拌槽径の積N_op5R₅を求めます。

N_op5R₅ = 70×0.207 = 14.49

次に，5 L試験機と30 L中間機との間で幾何学的相似を満たすとき，N₃₀R₃₀ = N₅R₅ = 14.49が成り立ちます。

そして，既知である撹拌槽径R₃₀をこの式に代入して，最適回転数N_op30を求めます。

N_op5R₅ = 14.49 = N_op30×0.300

N_op30 = 48.3 [r/min(min^–1)]

以上より，30 L中間機におけるプラネタリーミキサーの最適回転数N_op30を算出することができました。

プラネタリーミキサーの計算例⑵（3 L → 18 L仕込み・混合速度係数）

ここで，R_max = R，N_op = Nとします。

📝[memo]　どちらも撹拌槽径と最適回転数を示しているため，大きな意味はありません。

最適な回転数N₅，撹拌槽径R₅，混合機容積V₅が既知であるので，これらをリボンミキサーにおける混合速度係数に係る無次元式に代入して混合速度係数k_1-5を求めます。

k_1-5 ∝ R_max5^0.2N₅^1.4V₅^1/6 = 0.207^0.2×70^1.4×0.005^1/6 = 115.57 [min^–1]

同様にして，既知である最適な回転数N₃₀，撹拌槽径R₃₀，混合機容積V₃₀をリボンミキサーにおける混合速度係数に係る無次元式に代入して，混合速度係数k_1-30を求めます。

k_1-30 ∝ R_max30^0.2N₃₀^1.4V₃₀^1/6 = 0.300^0.2×48.3^1.4×0.030^1/6 = 99.80 [min^–1]

以上より，5 L試験機および30 L中間機におけるプラネタリーミキサーの混合速度係数k_1-5とk_1-30を算出することができました。

プラネタリーミキサーの計算例⑶（3 L → 18 L仕込み・混合時間）

混合速度係数k_1-5，混合時間t₅は既知であるので，混合速度係数と混合時間の積k_1-5t₅を求めます。

k_1-5t₅ = 115.57×10 = 1155.7

次に，5 L試験機と30 L中間機の混合速度係数と混合時間の積が等しいとするので，k_1-5t₅ = k_1-30t₃₀ = 1155.7が成り立ちます。

そして，既知である混合速度係数k_1-30をこの式に代入して，混合時間t₃₀を求めます。

k_1-5t₅ = 1155.7 = 99.80×t₃₀

t₃₀ = 11.6 [min]

以上より，30 L中間機におけるプラネタリーミキサーの混合時間t₃₀を算出することができました。

プラネタリーミキサーのスケールアップ計算結果

30 L中間機におけるプラネタリーミキサーの回転数・混合時間を算出することができました。

まとめると下図のようになります。

粉体の混合をヒントにして考えたものですが，スケールアップで仮定する条件が多く出てきました。

大きなところでは，練合機とリボンミキサーを同じように考えて良いか？という論点もあります。

練合機では，粉体に限らず液体を使用した混合をすることもあります。

そのため，この条件で試作可能か否かの確認は必要となります。