“単位体積あたりの槽壁伝熱量一定”の一般式としての表し方

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 冷却編【冷却速度一定とする考え方①】」のページで紹介したように，単位体積あたりの槽壁伝熱量q_Vを一定とする（＝冷却速度を一定とする）条件を算出することは困難であるという結論が得られました。

これは，冷却時において，温度によってエマルション製品の密度ρや粘度ηが連続的に変化するためです。

ここでは，密度ρや粘度ηが一定で変化しないと仮定して考えてみましょう。

一般的に，「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^{{(2/β₁) – 2}}」と表されることがあります。

下図に記載されているような計算をすることによって，最終的にこのような結論が得られます。

スケールアップ前

このときの回転数N₁，パドルミキサーの直径D₁とすると，単位体積あたりの槽壁伝熱量は「q_V1= D₁^{(2β₁ – 2)}(N₁ρ/60η)^β₁・ΔT」となります。

スケールアップ後

このときの回転数N₂，パドルミキサーの直径D₂とすると，単位体積あたりの槽壁伝熱量は「q_V2= D₂^{(2β₁ – 2)}(N₂ρ/60η)^β₁・ΔT」となります。

“単位体積あたりの槽壁伝熱量一定”であるため，「q_V2 = q_V1」となります。

そして，式変形をしていくと「N₂ = N₁(D₁/D₂)^{{(2/β₁) – 2}}」となります。

回転数Nを左辺，パドルミキサーの直径Dを右辺に移項すると「N₂/N₁ = (D₂/D₁)^{{(2/β₁) – 2}}」が得られます。

📝[memo]　q_V2 = q_V1　⇔　D₂^{(2β₁ – 2)}(N₂ρ/60η)^β₁・ΔT = D₁^{(2β₁ – 2)}(N₁ρ/60η)^β₁・ΔT　⇔　N₂^β₁D₂^{(2β₁ – 2)} = N₁^β₁D₁^{(2β₁ – 2)}　⇔　N₂ = N₁(D₁/D₂)^{{(2/β₁) – 2}}　⇔　N₂/N₁ = (D₂/D₁)^{{(2/β₁) – 2}}

特に，β₁ = 2/3のときは「N₂ = N₁D₂/D₁」となります。

📝[memo]　β₁は乳化撹拌装置のジャケット冷却方式によって決まる値（定数）ですが，具体的に明らかにはなっていません。

📝[memo]　ここではβ₁ = 2/3として話を進めるようにします。

単位体積あたりの槽壁伝熱量一定時における撹拌作用の関係

“微細化作用He”と“吐出作用Q”を回転数Nとパドルミキサーの直径Dで表現することを考えます。

「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【周先端速度一定時における撹拌作用の変化】」のページで紹介したように，微細化作用Heと吐出量Qは次のように表されます。

• He ∝ N²D²
• Q ∝ ND³

単位体積あたりの槽壁伝熱量が一定のとき，これらの撹拌作用がどのように変化するでしょうか？

📝[memo]　伝熱量を考えると微細化作用Heは関係なさそうですが，比較のために計算はしたいと思います。

微細化作用の関係

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは？】」のページで，スケールアップ後の回転数N₂ = N₁(D₁/D₂)^2/3で表されると紹介しました。

ここで，スケールアップ前後の微細化作用Heを計算します。

• スケールアップ前　👉　He₁ ∝ N₁²D₁²
• スケールアップ後　👉　He₂ ∝ N₂²D₂² = (N₁D₂/D₁)²D₂² = N₁²D₂⁴/D₁²

He₂/He₁ ∝ (N₁²D₂⁴/D₁²)/N₁²D₁² = (D₂/D₁)⁴

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，微細化作用Heは16倍になることがわかります。

📝[memo]　パドルミキサーの直径Dの変化の仕方（スケールアップの仕方）によって，微細化作用Heは異なります（＝一定ではありません）。

📝[memo]　次の「スケールアップ理論を考えてみよう ー 冷却編【冷却速度一定とする考え方②】」のページで紹介しますが，微細化作用Heが大きくなる理由は回転数Nを高くする必要があるためです。

吐出作用の関係

次に，スケールアップ前後の吐出作用Qを計算します。

スケールアップ前　👉　Q₁ ∝ N₁D₁³
スケールアップ後　👉　Q₂ ∝ N₂D₂³ = (N₁D₂/D₁)D₂³ = N₁D₂⁴/D₁

Q₂/Q₁ ∝ (N₁D₂⁴/D₁)/N₁D₁³ = (D₂/D₁)⁴

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，吐出作用Qは16倍になることがわかります。

📝[memo]　パドルミキサーの直径Dの変化の仕方（スケールアップの仕方）によって，吐出作用Qは異なります（＝一定ではありません）。

📝[memo]　これも次の「スケールアップ理論を考えてみよう ー 冷却編【冷却速度一定とする考え方②】」のページで紹介しますが，吐出作用Qを大きくして冷却効率を一定とするために回転数Nを高くする必要があるためです。

撹拌時間の関係

最後に，「”（条件②）パス回数が等しくなるようにする”という考え方」を採用して，参考までに撹拌時間についても考えます。

スケールアップ前　👉　t₁ ∝ n₁V₁/Q₁ ∝ n₁(αD₁³)/(N₁D₁³) = αn₁/N₁

スケールアップ後　👉　t₂ ∝ n₂V₂/Q₂ ∝ n₁(αD₂³)/(N₁D₂⁴/D₁) = αn₁D₁/N₁D₂

📝[memo]　パス回数の式を変形した乳化時間t = …の式に，上述した吐出量（吐出作用）Qを代入しています。

📝[memo]　ここでは「パス回数＝循環回数」，「乳化時間＝撹拌時間」と置き換えます。

t₂/t₁ ∝ (αn₁D₁/N₁D₂)/(αn₁/N₁) = (D₂/D₁)^–1

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，撹拌時間tは0.5倍になることがわかります。

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一方，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【回転数・混合時間/乳化時間の考え方】」のページで紹介した”無次元混合時間”を採用する場合があります。

• スケールアップ前　👉　t_M1 ∝ 1/N₁
• スケールアップ後　👉　t_M2 ∝ 1/N₂ = 1/N₁(D₂/D₁)

📝[memo]　無次元混合時間の式を変形した混合時間t_M = …の式に，上述した回転数Nを代入しています。

📝[memo]　ここでは「撹拌時間＝混合時間」と置き換えます。

t_M2/t_M1 ∝ {1/N₁(D₂/D₁)}/(1/N₁) = (D₂/D₁)^–1

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，混合時間t_Mは0.5倍になることがわかります。

📝[memo]　循環回数（パス回数）で考えた場合と同じ式が得られ，混合時間t_Mはパドルミキサーの直径Dだけで表すことができます。

まとめ

ここで，まとめをしておきましょう。

スケールアップをして羽根径が2倍になると，単位体積あたりの動力一定時において各種因子は下表のように変化します。

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単位体積あたりの槽壁伝熱量一定とするスケールアップは，主に次の特徴があります。

• 回転数が高くなる。（N₂ = 2N₁）
• 吐出作用が大きくなる。（Q₂ = 16Q₁）

製品仕込量が多くなると，効率的な冷却が困難になってきます。

そこで，撹拌羽根の回転数を高くして，製品を積極的に動かして熱交換することで，冷却速度を等しくしようと試みています。

また，このような条件でスケールアップすると撹拌時間が短くなります。

次の「スケールアップ理論を考えてみよう ー 冷却編【冷却速度一定とする考え方②】」のページで紹介しますが，実際の冷却工程に適用するには難しく理想的な条件と言えます。

話は戻りますが，エマルション製品の密度ρや粘度ηが一定で変化しないと仮定した場合，この理論式で計算ができそうです。

先走って実際の冷却工程に関する考察の一部が登場していますが，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 冷却編【冷却速度一定とする考え方②】」のページで改めて触れることにします。