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📚 (5-15) スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは?】

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アイキャッチ【スケールアップ理論を考えてみようー乳化編】

単位体積あたりの動力

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【一般的な撹拌機によるスケールアップ計算式】」のページで,”N3D2”は何を意味するのか?という疑問を提示したまま終わりました。

ここではその答えを考えることになります。

いきなり結論から言うと,”N3D2”は単位体積あたりの動力を意味します。

単位体積あたりの動力の式
🚩 単位体積あたりの動力の式

正味の所要動力Pnetとは…

クエスチョンマークの帽子を被っている女性

先に,正味の所要動力Pnetについて簡単に触れておきます。

単位体積あたりの動力PVは,正味の所要動力Pnet/製品仕込量Vで得られるためです。

正味の所要動力Pnetは,1秒間あたりの運動エネルギーのイメージです。

📝[memo] 1秒間で流体に付与する運動エネルギー=正味の所要動力として考えることができそうです。

次に,正味の所要動力Pnetの導出をしておきます。

1秒間に移動する円柱状流体の質量

m = Q・(N/60) = {π(D2/4)h・ρ}・(N/60) = π(D2/4)(αD)・ρ・(N/60) = (πα/4)ρ(N/60)D3

📝[memo] 「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“ホモミキサー”による吐出量】」のページで紹介した考え方を採用します。

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周先端速度

v = U = πND/60 = π(N/60)D

1秒間あたりの運動エネルギー(正味の所要動力)

Pnet = (1/2)mv2 = (1/2)・{(πα/4)ρ(N/60)D3}・{π(N/60)D}2 = (π3α/8)ρ(N/60)3D5 = Npρ(N/60)3D5

📝[memo] π3α/8は定数であるので,まとめてNpに置き換えています。

正味の所要動力の導出
🚩 正味の所要動力の導出

単位体積あたりの動力PVを決める因子

戸締りの確認

単位体積あたりの動力PVがどのような式の形で表現できるか?を確認してみましょう。

PV = Pnet/V = Npρ(N/60)3D5/V

幾何学的相似により,V = αD3で表すことができるとします。

📝[memo] 体積は長さの3乗に比例するので,製品仕込量Vは羽根径Dの3乗に比例するとして,比例定数αを用いて表現しています。

PV = Npρ(N/60)3D5/αD3 = (Npρ/603α)(N3D2) ∝ N3D2

ここで,Npρ/603αはスケールアップ前後で変化しません。

すなわち,単位体積あたりの動力PVが”N3D2”に比例することがわかります。

混合を制御するための計算(推算)式

これまでの考え方をまとめ,“液体”+“液体”の一般的な撹拌(パドルミキサー)の場合の条件を式にすることを考えます。

📝[memo] 繰り返し同じ話をする部分がありますが,改めて紹介します。

幾何学的相似

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【相似則の利用】」のページで紹介したように,基本的には”幾何学的相似”と”力学・運動学的相似”を考えます。

低速撹拌機は当社以外の撹拌機メーカーが得意とするところですが,基本的に幾何学的相似は満たされるように製作されています。

そこで,幾何学的相似を満たすような羽根径を決定するために,例えば下式を使用します。

📝[memo] ここでは,「撹拌槽径に対する羽根径の割合」という代用的な事例を紹介していますが,適宜,幾何学的相似を満たすようにパドルミキサーの構造を考えていきます。

混合を制御するための計算(推算)式(幾何学的相似)
🚩 混合を制御するための計算(推算)式(幾何学的相似)

(条件①・②)単位体積あたりの動力を等しくする

上述した内容そのものです。

力学・運動学的相似に該当します。

混合を制御するための計算(推算)式(条件①・②)
🚩 混合を制御するための計算(推算)式(条件①・②)

循環回数(=パス回数)または無次元混合時間を等しくする

1つの案は,「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【パス回数が等しくなるようにする】」のページで紹介したパス回数の考え方を採用して,撹拌時間を決定するものです。

📝[memo] 乳化ではないので,”循環回数”と名前を変えています。

循環回数の式
🚩 循環回数の式

もう1つの案は,「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【回転数・混合時間/乳化時間の考え方】」のページで紹介した無次元混合時間の考え方を採用して,撹拌時間(混合時間)を決定するものです。

無次元混合時間の式
🚩 無次元混合時間の式

“単位体積あたりの動力一定”の一般式としての表し方

一般的に,「N2/N1 = (D2/D1)–2/3」と表されることがあります。

下図に記載されているような計算をすることによって,最終的にこのような結論が得られます。

オッドアイの猫
スケールアップ前

このときの回転数N1,タービン羽根の直径D1とすると,単位体積あたりの動力は「PV1 = (Npρ/603α)(N13D12)」となります。

スケールアップ後

このときの回転数N2,タービン羽根の直径D2とすると,単位体積あたりの動力は「PV2 = (Npρ/603α)(N23D22)」となります。

“単位体積あたりの動力一定”であるため,「PV2 = PV1」となります。

そして,式変形をしていくと「N2 = N1(D1/D2)2/3」となります。

回転数Nを左辺,タービン羽根の直径Dを右辺に移項すると「N2/N1 = (D2/D1)–2/3」が得られます。

📝[memo] PV2 = PV1 ⇔ (Npρ/603α)(N23D22) = (Npρ/603α)(N13D12) ⇔ N23D22 = N13D12 ⇔ N2 = N1(D1/D2)2/3 ⇔ N2/N1 = (D2/D1)–2/3

“単位体積あたりの動力一定”の一般式としての表し方
🚩 “単位体積あたりの動力一定”の一般式としての表し方
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