パス回数の式

続いて，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【ホモミキサーによる微細化作用とスケールアップ計算式】」で紹介した”（条件②）パス回数が等しくなるようにする”の考え方に着目します。

パス回数の式は下式の通りでした。

パス回数の意味

動画はイメージになりますが，このように流体がタービン羽根を通過すると微細化されていきます。

パス回数とは，タービン羽根を通過する「回数」を言います。

せん断力（＝周先端速度）に加えて，このパス回数を等しくすることが重要でしたね。

ここで，式の成り立ちについて簡単に確認しておきます。

1分間の循環量 Q　👉　[L/min]

吐出量と呼ばれますが，ホモミキサーによって1分間に移送される流体の量です。

移送されるということは，この流体の量だけがホモミキサーを通過していることを意味します。

t分間の循環量 tQ　👉　[min]×[L/min] = [L]

ホモミキサーによってt分間に移送される流体の量です。

パス回数 tQ/V　👉　[L] / [L] = [-]

製品仕込量の全量がホモミキサーを通過すると，パス回数は1となります。

📝[memo]　t分間に移送される流体の量tQ = 製品仕込量Vのときにパス回数が1です。

t分間におけるパス回数を求めます。

パス回数を決める因子

次に，パス回数の式に着目します。

パス回数nは，乳化時間t，吐出量Q，製品仕込量Vによって決まります。

乳化時間t　👉　変数

試験機にて決定した最適条件によって決まるものです。

乳化時間tと粒子径dの関係を調べ，これ以上乳化時間tを長くしても粒子径dが小さくならない値を調べます。

吐出量Q　👉　定数

別の計算式から算出します。

製品仕込量V　👉　定数

使用する乳化槽が決まっているので，自ら決めることができる値です。

このように考えると，最適な乳化時間tさえ決めてしまえば，パス回数nは計算によって求められることがわかります。

パス回数の式を使用することで，“パス回数nが等しくなるようにする”条件から，生産機における最適な乳化時間tを求めることができます。

具体的な計算については，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【スケールアップの検討例①】」のページで紹介します。

“パス回数一定”の一般式としての表し方

一般的に，「t₁Q₁/V₁ = t₂Q₂/V₂」と表されることがあります。

下図に記載されているような計算をすることによって，最終的に上記の結論が得られます。

スケールアップ前

このときの乳化時間t₁，吐出量Q₁，製品仕込量V₁とすると，パス回数「n₁ = t₁Q₁/V₁」となります。

スケールアップ後

このときの乳化時間t₂，吐出量Q₂，製品仕込量V₂とすると，パス回数「n₂ = t₂Q₂/V₂」となります。

“パス回数一定”であるため，「n₂ = n₁」となります。

そして，式変形をしていくと「t₂ = (Q₁/Q₂)(V₂/V₁)t₁」となります。

スケールアップ前を左辺，スケールアップ後を右辺に移項すると「t₁Q₁/V₁ = t₂Q₂/V₂」が得られます。

📝[memo]　n₂ = n₁　⇔　t₁Q₁/V₁ = t₂Q₂/V₂　⇔　t₂Q₂/V₂ = t₁Q₁/V₁　⇔　t₂ = (Q₁/Q₂)(V₂/V₁)t₁

パス回数と分裂確率

ここで，パス回数について少し深掘りします。

液滴の大きさは均一ではなく不均一であるため，粒度分布を考えなければなりません。

そして，なぜ液滴の大きさが不均一になるかというと，液滴がホモミキサーを通過するチャンスがやってきたとき，全ての液滴が微細化されるとは限らないためです。

例えば，液滴がせん断力を受けずにホモミキサーを通過したり，そもそも液滴がホモミキサーを通過しないことが考えられます。

分裂確率と粒度分布

そこで，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【高速撹拌機による液滴の微細化】」のページで分裂確率（ホモミキサーの通過確率）を紹介しました。

繰り返しになりますが，代表的な分裂確率の事例を今一度確認しておきましょう。

分裂確率100%

液滴がホモミキサーを通過するチャンスが5回やってきたとき，ホモミキサーを5回通過した液滴の存在確率は100%です。

📝[memo]　液滴がホモミキサーを通過する確率が高くなると，撹拌効率の良い撹拌機と言えそうですね。

分裂確率20%

下図は，分裂確率20%のときにおける液滴の存在確率です。

例えば，液滴がホモミキサーを通過するチャンスが5回やってきたとき，ホモミキサーを2回通過した液滴が一番多いことがわかります。

さすがに，ホモミキサーを5回通過した液滴は少ないですね。

パス回数が多くしても，分裂回数が多くならないことが想像できます。

分裂確率50%

下図は，分裂確率50%のときにおける液滴の存在確率です。

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【高速撹拌機による液滴の微細化】」のページで紹介したモデルと同じです。

例えば，液滴がホモミキサーを通過するチャンスが5回やってきたとき，ホモミキサーを2または3回通過した液滴が一番多いことがわかります。

液滴の存在確率は，左右対称になっています。

分裂確率90%

下図は，分裂確率90%のときにおける液滴の存在確率です。

例えば，液滴がホモミキサーを通過するチャンスが5回やってきたとき，ホモミキサーを5回通過した液滴が一番多いことがわかります。

したがって，理想的な状態であると言えます。

ただ，それでもホモミキサーを5回通過した液滴は約50%になります。

実際のパス回数

例えば試験機では分裂確率が50%，生産機では分裂確率が20%であったような場合，スケールアップ前後で分裂確率が大きく変化することを意味します。

その結果，理論上のパス回数とズレが生じ，必要な乳化時間が異なる要因になりそうです。

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【相似則の利用】」のページで紹介したように，ホモミキサーのような高速撹拌機を使用する場合は幾何学的相似が満たされていないため，スケールアップ前後で分裂確率が変動する可能性はありそうです。

📝[memo]　撹拌機の基本構造が同じなので，スケールアップ前後で分裂確率が50%と20%という大きな変動はありませんが，タンクとのバランスによって多少は分裂確率が変動しそうです。

そこで，スケールアップ前後で分裂確率が100%一定であると仮定して，計算上ではホモミキサーを通過する吐出量のみを変化させることを考えます。

このようにして補正した事実上の吐出量が得られれば，今回提案した考え方や式を適用してパス回数や乳化時間を算出できそうです。

複雑な話になってきたので，下図を使って考えてみましょう。

例えば，分裂確率が50%のホモミキサーがあったとします。

そして，吐出量が150 [L/min]だったとします。

このとき，50%の確率で吐出量が150 [L/min]になると考えるのは複雑です。

そこで，100%の確率で吐出量が75 [L/min]になると考えることにします。

📝[memo]　パス回数の式には”分裂確率”の項がないので，吐出量にしわ寄せしてしまいます。

吐出量へのしわ寄せは，次のページ「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“ホモミキサー”による吐出量】」で登場する吐出係数を補正することで対応ができます。

ただし，通常のスケールアップではここまで深く考える必要はないので，難しいと思われた方は分裂確率の概念は一旦置いておきましょう。