単位体積あたりの動力一定時における撹拌作用の関係

“微細化作用He”と“吐出作用Q”を回転数Nとパドルミキサーの直径Dで表現することを考えます。

「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【周先端速度一定時における撹拌作用の変化】」のページで紹介したように，微細化作用Heと吐出量Qは次のように表されます。

• He ∝ N²D²
• Q ∝ ND³

単位体積あたりの動力が一定のとき，これらの撹拌作用がどのように変化するでしょうか？

微細化作用の関係

「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは？】」のページで，スケールアップ後の回転数N₂ = N₁(D₁/D₂)^2/3で表されると紹介しました。

ここで，スケールアップ前後の微細化作用Heを計算します。

• スケールアップ前　👉　He₁ ∝ N₁²D₁²
• スケールアップ後　👉　He₂ ∝ N₂²D₂² = {N₁(D₁/D₂)^2/3}²・D₂² = N₁²D₁^4/3D₂^2/3

He₂/He₁ ∝ N₁²D₁^4/3D₂^2/3/N₁²D₁² = (D₂/D₁)^2/3

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，微細化作用Heは1.6倍になることがわかります。

📝[memo]　パドルミキサーの直径Dの変化の仕方（スケールアップの仕方）によって，微細化作用Heは異なります（＝一定ではありません）。

吐出作用の関係

次に，スケールアップ前後の吐出作用Qを計算します。

スケールアップ前　👉　Q₁ ∝ N₁D₁³
スケールアップ後　👉　Q₂ ∝ N₂D₂³ = {N₁(D₁/D₂)^2/3}・D₂³ = N₁D₁^2/3D₂^7/3

Q₂/Q₁ ∝ N₁D₁^2/3D₂^7/3/N₁D₁³ = (D₂/D₁)^7/3

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，吐出作用Qは5.0倍になることがわかります。

📝[memo]　パドルミキサーの直径Dの変化の仕方（スケールアップの仕方）によって，吐出作用Qは異なります（＝一定ではありません）。

撹拌時間の関係

最後に，「”（条件②）パス回数が等しくなるようにする”という考え方」を採用して，撹拌作用ではありませんが撹拌時間についても考えます。

n₂ = n₁が成り立つ条件を採用することを意味します。

📝[memo]　「スケールアップ理論を考えてみようー乳化編【パス回数が等しくなるようにする】」のページで紹介しました。

また，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは？】」のページで紹介したように，幾何学的相似が成り立つのでV = αD³を満たします。

• スケールアップ前　👉　t₁ ∝ n₁V₁/Q₁ ∝ n₁(αD₁³)/(N₁D₁³) = αn₁/N₁
• スケールアップ後　👉　t₂ ∝ n₂V₂/Q₂ ∝ n₁(αD₂³)/(N₁D₁^2/3D₂^7/3) = αn₁/N₁・(D₂/D₁)^2/3

📝[memo]　パス回数の式を変形した乳化時間t = …の式に，上述した吐出量（吐出作用）Qを代入しています。

📝[memo]　ここでは「パス回数＝循環回数」，「乳化時間＝撹拌時間」と置き換えます。

t₂/t₁ ∝ {αn₁/N₁・(D₂/D₁)^2/3}/(αn₁/N₁) = (D₂/D₁)^2/3

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，撹拌時間tは1.6倍になることがわかります。

📝[memo]　製品仕込量Vにおいて幾何学的相似が成り立つので，撹拌時間tはパドルミキサーの直径Dだけで表すことができます。

📝[memo]　そのため，吐出量Qが5.0倍になりますが，製品仕込量Vを含めた考え方をしているので単純に0.2倍とはなりません。

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一方，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【回転数・混合時間/乳化時間の考え方】」のページで紹介した”無次元混合時間”を採用する場合があります。

• スケールアップ前　👉　t_M1 ∝ 1/N₁
• スケールアップ後　👉　t_M2 ∝ 1/N₂ = 1/{N₁(D₁/D₂)^2/3}

📝[memo]　無次元混合時間の式を変形した混合時間t_M = …の式に，上述した回転数Nを代入しています。

📝[memo]　ここでは「撹拌時間＝混合時間」と置き換えます。

t_M2/t_M1 ∝ (1/N₁)/[1/{N₁(D₁/D₂)^2/3}] = (D₂/D₁)^2/3

したがって，パドルミキサーの直径Dが2倍になると，混合時間t_Mは1.6倍になることがわかります。

📝[memo]　循環回数（パス回数）で考えた場合と同じ式が得られ，混合時間t_Mはパドルミキサーの直径Dだけで表すことができます。

まとめ

ここで，まとめをしておきましょう。

スケールアップをして羽根径が2倍になると，単位体積あたりの動力一定時において各種因子は下表のように変化します。

吐出作用のみを考慮した混合

単位体積あたりの動力一定時における撹拌作用を考えたとき，スケールアップ前後で吐出作用Qと微細化作用Heの両方が変化することがわかりました。

“機械的な力”を等しく与えることを目指してきましたが，実際にはスケールアップ前後で“微細化作用He”と“吐出作用Q”を共に等しくすることはできません。

📝[memo]　周先端速度一定時における撹拌作用の場合は，スケールアップ前後で微細化作用Heのみが一定になることがわかりました。

そこで，低速撹拌機の特徴について振り返ってみます。

「撹拌をやさしく捉えてみよう【一般的なクリーム・乳液製造工程で必要な撹拌】」のページで紹介したように，低速撹拌機は吐出作用が得意でした。

…ということは，スケールアップ前後で吐出作用Qを優先的に一定となるような条件を設けたら良いのではないか？という考えが出てきます。

📝[memo]　低速撹拌機による混合目的では，吐出作用Qを対象に考えるべきものが圧倒的に多いです。

「撹拌をやさしく捉えてみよう【撹拌作用の使い分け】」のページで紹介したように，撹拌エネルギーPは微細化作用Heと吐出作用Qの積に比例します。

そして，「スケールアップ理論を考えてみよう ー 乳化編【“N^3D^2”とは？】」のページで紹介した”正味の所要動力P_net”を考えたとき，P_net = Pであるとします。

単位体積あたりの動力

P_V = P_net/V = P/V ∝ HeQ/V

このままでは微細化作用Heを含むので，吐出作用Qだけにしたいところです。

単位体積あたりの吐出量

Q_V = Q/V

微細化作用Heを含まない条件になりました。

このように，単位体積あたりの吐出量Q_Vを等しくすることを優先すれば，同じ混合状態が得られると考えることにします。

正確には“機械的な力”である“吐出作用Q”を等しくすることで，（微細化作用Heは等しくないけれど）”機械的な力”を等しいとみなすことができるだろう！というのが，ここでの提案になります。